Question

【题目】【2018贵州遵义市高三上学期第二次联考】设抛物线的准线与轴交于，抛物线的焦点为，以为焦点，离心率的椭圆与抛物线的一个交点为；自引直线交抛物线于两个不同的点，设．

（Ⅰ）求抛物线的方程和椭圆的方程；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)椭圆的方程为；抛物线的方程是： ．(Ⅱ) ．

【解析】试题分析：

(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为，根据椭圆上的点及离心率可得关于的方程组，求得可得椭圆的方程；根据椭圆的焦点坐标可得，进而可得抛物线方程．(Ⅱ)设出直线的方程，与椭圆方程联立消元后根据根与系数的关系及弦长公式可得，再根据的范围，利用函数的有关知识求得的范围即可．

试题解析：

（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，

由题意得，解得，

∴椭圆的方程为，

∴点的坐标为,

∴,

∴抛物线的方程是.

（Ⅱ）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，

由消去x整理得（*）

∵直线与抛物线交于两点，

∴．

设， ，

则①，②．

∵， ,

∴

∴．③

由①②③消去得： ．

∴

，即，

将代入上式得

，

∵单调递减，

∴，即，

∴，

∴，

即的求值范围为．