Question

【题目】如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是的中点， ．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证：∥平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）由， 及,可证平面．即可证明

平面平面；

（Ⅱ）证明．又因为平面， 平面，所以∥平面

（Ⅲ）由即可求得三棱锥的体积．

试题解析：

（Ⅰ）证明：由已知为正三角形，且D是BC的中点，

所以．

因为侧棱底面， ，

所以底面．

又因为底面，所以.

而,

所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（Ⅱ）证明：连接，设，连接．

由已知得，四边形为正方形，则为的中点.

因为是的中点，所以．

又因为平面， 平面，

所以∥平面

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，

所以与到平面的距离相等，

所以．

由题设及，得，且．

所以，

所以三棱锥的体积为．