题目内容

6．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1-2an．证明：数列{bn}是等比数列．

分析 由递推关系可得：an+1=4an-4an-1．变形为：an+1-2an=2（an-2an-1）．利用等比数列的递推及其通项公式即可证明．

解答 证明：∵Sn+1=4an+1，①
∴当n≥2时，Sn=4an-1+1．②
①-②，得an+1=4an-4an-1．
∴an+1-2an=2（an-2an-1）．
又bn=an+1-2an，∴bn=2bn-1．
∵a1=1，且a1+a2=4a1+1，即a2=3a1+1=4．
∴b1=a2-2a1=2，
故数列{bn}是首项为2，公比为2的等比数列．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的定义与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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