Question

【题目】若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”．

（）①前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由．②通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；

（）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值．

（）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．

Answer 1

【答案】（）见解析;（）;（）见解析.

【解析】试题分析： 利用当时， ，当时， 即可得到，再利用“回归数列”的意义即可得出；②， ， 为偶数，即可证明数列是“回归数列”

利用等差数列的前项和即可得到，对任意，存在，使，取时和根据即可得出结论

设等差数列的公差为，构造数列， ，可证明和是等差数列。再利用等差数列的前项和公式及其通项公式，“回归数列”，即可得出；

解析：（）①当时， ，

当时， ，

当时， ，

∴数列是“回归数列”．

②，前项和，

∵为偶数，

∴存在，

即，使，

∴数列是“回归数列”．

（），

对任意，存在，使，

即，

取时，得，解得，

∵，

∴，

又，

∴，

∴．

（）设等差数列的公差为，令，

对， ，

令，则对， ，

则，且数列和是等差数列，

数列的前项和，

令，则，

当时， ；

当时， ．

当时， 与的奇偶性不同，

故为非负偶数，

∴，

∴对，都可找到，使成立，

即为“回归数列”．

数列的前项和，

∴，

则，

∵对， 为非负偶数，

∴，

∴对，都可找到，使得成立，

即为“回归数列”，

故命题得证．