Question

求函数y=（4-3sinx）（4-3cosx）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：利用多项式乘以多项式展开，然后令t=sinx+cosx换元，化为关于t的二次函数求最值．

解答： 解：y=（4-3sinx）（4-3cosx）
=16-12（sinx+cosx）+9sinxcosx．
令t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)∈[-

2

，

2

]，
则t²=1+2sinxcosx，sinxcosx=

t2-1

2

．
∴y=16-12（sinx+cosx）+9sinxcosx
=16-12t+

9t2

2

-

9

2

=

1

2

(9t2-24t+23)，t∈[-

2

，

2

]．
当t=

12

9

=

4

3

时，y有最小值为

7

2

．

点评：本题考查了三角函数的最值得求法，考查了换元法，训练了二次函数最值的求法，是中档题．