Question

6．若变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≤12\\ x≥0\\ y≥0\end{array}$，则z=$\frac{y+3}{x+1}$的取值范围是[$\frac{3}{4}$，7]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
z=$\frac{y+3}{x+1}$的几何意义是区域内的点到定点（-1，-3）的斜率，
由图象知DA的斜率最大，DB的斜率最小，
∵A（0，4），B（3，0），
∴z的最大值为z=$\frac{4+3}{1}=7$，z的最小值为z=$\frac{0+3}{3+1}$=$\frac{3}{4}$，
即，z=$\frac{y+3}{x+1}$的取值范围是[$\frac{3}{4}$，7]，
故答案为：[$\frac{3}{4}$，7]．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．