Question

1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知tanA=$\frac{sinC}{1-cosC}$，c=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求$\frac{b}{a}$；
（Ⅱ）若三角形△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，求角C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据商的关系、两角和的正弦公式、内角和定理化简已知的式子，再由正弦定理化简即可求出$\frac{b}{a}$的值；（Ⅱ）根据题意和三角形的面积公式、余弦定理列出方程，化简后利用辅助角公式化简，由内角的范围、特殊角的正弦值求出角C的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，tanA=$\frac{sinC}{1-cosC}$，
则$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinC}{1-cosC}$，即有sinA-sinAcosC=cosAsinC，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
由正弦定理，a=b，则$\frac{b}{a}$=1；…（6分）
（Ⅱ）因为三角形△ABC的面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}$，a=b、c=$\sqrt{2}$，
所以S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$a²sinC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，则${a}^{2}sinC=\frac{\sqrt{3}}{3}$，①
由余弦定理得，$cosC=\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{2a}^{2}-2}{2{a}^{2}}$，②
由①②得，cosC+$\sqrt{3}$sinC=1，则2sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，则$\frac{π}{6}＜$C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，即C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得C=$\frac{2π}{3}$    …（12分）．

点评 本题考查正弦定理，三角形的面积公式，以及商的关系、两角和的正弦公式等，注意内角的范围，属于中档题．