Question

如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则该几何体的内切球的半径为______．

Answer 1

把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，
且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6


又在折叠前后∠QAB与∠RCB的大小不变，所以四棱锥中∠PAB与∠PCB仍为直角．
在直角三角形PDA和直角三角形PDC中，由PD=DA=DC=6，得PA=PC=6

2

，
所以S△PDA=S△PDC=

1

2

×6×6=18，
S△PAB=S△PCB=

1

2

×6×6

2

=18

2

，
S_ABCD=6×6=36．
利用等积法，设四棱锥内切球的半径为r，
则

1

3

SABCD•PD=

1

3

(S△PAD+SPCD+S△PAB+S△PCB)•r+

1

3

SABCD•r．
即36×6=(18×2+18

2

×2+36)r．
解得：r=6-3

2

．
故答案为6-3

2

．