Question

如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD=PD=6，CR=SC，AQ=AP，点S，D，A，Q及P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则该几何体的内切球的半径为

6-3

2

．

Answer 1

分析：由展开图还原回原图形，得到原几何体是有一条侧棱垂直于底面，其余两侧面是直角三角形的四棱锥，且四棱锥底面是边长为6的正方形，利用等积法可求四棱锥的内切球的半径．

解答：解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，
且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6
又在折叠前后∠QAB与∠RCB的大小不变，所以四棱锥中∠PAB与∠PCB仍为直角．
在直角三角形PDA和直角三角形PDC中，由PD=DA=DC=6，得PA=PC=6

2

，
所以S△PDA=S△PDC=

1

2

×6×6=18，
S△PAB=S△PCB=

1

2

×6×6

2

=18

2

，
S_ABCD=6×6=36．
利用等积法，设四棱锥内切球的半径为r，
则

1

3

SABCD•PD=

1

3

(S△PAD+SPCD+S△PAB+S△PCB)•r+

1

3

SABCD•r．
即36×6=(18×2+18

2

×2+36)r．
解得：r=6-3

2

．
故答案为6-3

2

．

点评：本题考查了棱锥的结构特征，考查了利用等积法求几何体内切球的半径，解答此题的关键是把展开图还原回原几何体，需要注意的是平面图形折叠前后的变量与不变量，是基础题．