Question

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值点；
（Ⅱ）已知当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导数，令导数大于0，解得函数的增区间，令导数小于0，解得函数的减区间，令导数等于0，解得函数的极值点，再根据极值点两侧的导数的正负判断是极大值还是极小值．
（Ⅱ）因为x∈（1，+∞），所以f（x）≥k（x-1）恒成立可转化为k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，再化简k≤

x3-6x+5

x-1

，求最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）对函数f（x）=x³-6x+5求导，得函数f′（x）=3x²-6
令f′（x）＞0，即3x²-6＞0，解得x＞

2

，或x＜-

2

，
f′（x）＜0，即3x²-6＜0，解得-，

2

＜x＜

2

，
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-

2

）及（

2

，+∞），单调递减区间是（-

2

，

2

）
x=-

2

是极大值点；x=

2

是极小值点；
（Ⅱ）x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，也就是k≤

x3-6x+5

x-1

恒成立，
令g（x）=

x3-6x+5

x-1

，则g（x）=x²+x-5，
∴g（x）的最小值为-3，
∴k≤-3．

点评：本题主要考查了利用导数求函数单调区间，极值，以及函数的极值的应用，综合性强．