Question

15．老师给出问题：“设函数f（x）的定义域是（0，1），且满足：①对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；②对于任意的x₁，x₂∈（0，1），恒有$\frac{{f（{x_1}）}}{{f（{x_2}）}}+\frac{{f（1-{x_1}）}}{{f（1-{x_2}）}}$≤2．请同学们对函数f（x）进行研究”．经观察，同学们提出以下几个猜想：
甲同学说：f（x）在$（0，\frac{1}{2}]$上递减，在$[\frac{1}{2}，1）$上递增；
乙同学说：f（x）在$（0，\frac{1}{2}]$上递增，在$[\frac{1}{2}，1）$上递减；
丙同学说：f（x）的图象关于直线x=$\frac{1}{2}$对称；
丁同学说：f（x）肯定是常函数．
你认为他们的猜想中正确的猜想个数有（　　）

• A． 3个
• B． 2个
• C． 1个
• D． 0个

Answer 1

分析 利用赋值法，结合基本不等式的性质进行判断即可．

解答 解：令x₁=1-x₂，
则不等式$\frac{{f（{x_1}）}}{{f（{x_2}）}}+\frac{{f（1-{x_1}）}}{{f（1-{x_2}）}}$≤2等价为$\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}$+$\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}$≤2，
由①知对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0；
则$\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}$+$\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}$≥2$\sqrt{\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}•\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}}$=2，
故$\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}$+$\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}$=2当且仅当$\frac{f（1-{x}_{2}）}{f（{x}_{2}）}$=$\frac{f（{x}_{2}）}{f（1-{x}_{2}）}$=1即f（x₂）=f（1-x₂）时成立．
此时函数f（x）关于x=$\frac{1}{2}$对称，
故丙猜想正确．
由丙同学可知f（x）关于x=$\frac{1}{2}$对称，
则f（x₁）=f（1-x₁），f（x₂）=f（1-x₂），
则不等式$\frac{{f（{x_1}）}}{{f（{x_2}）}}+\frac{{f（1-{x_1}）}}{{f（1-{x_2}）}}$≤2等价$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$+$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$≤2，
即2$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$≤2，则$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$≤1，
∵对于任意的x∈（0，1），f（x）＞0，
∴f（x₁）≤f（x₂），则f（x₁）=f（x₂）恒成立，即函数f（x）为常数函数，故丁正确，
其他不一定正确，
故选：B．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合基本不等式的性质是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．