Question

已知过抛物线y²＝2px(p＞0)的焦点❶，斜率为2的直线交抛物线于A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x₁＜x₂)两点，且|AB|＝9.❷

       (1)求该抛物线的方程；

       (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，❸若＝＋λ，求λ的值．

Answer 1

解　(1)直线AB的方程是y＝2，与y²＝2px联立，从而有4x²－5px＋p²＝0，所以x₁＋x₂＝，

由抛物线定义得：|AB|＝x₁＋x₂＋p＝＋p＝9，

所以p＝4，从而抛物线方程为y²＝8x.

(2)由于p＝4,4x²－5px＋p²＝0可简化为x²－5x＋4＝0，

从而x₁＝1，x₂＝4，y₁＝－2，y₂＝4，

从而A(1，－2)，B(4,4)；

设C(x₃，y₃)，则＝(x₃，y₃)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，

又y＝8x₃，即[2(2λ－1)]²＝8(4λ＋1)，

即(2λ－1)²＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.