Question

已知

1

m

+

2

n

=1(m＞0，n＞0)，则当m•n取得最小值时，椭圆

x2

m2

+

y2

n2

=1的离心率为

 

．

Answer 1

分析：先利用基本不等式求出当m•n取得最小值时m和n 的值，从而得到椭圆的标准方程，由方程求得椭圆的离心率．

解答：解：∵已知

1

m

+

2

n

=1(m＞0，n＞0)，则  1≥2

1 m × 2 n

，∴mn≥8，当且仅当 m=2，n=4时，等号成立．
此时，椭圆的方程为

x2

4

+

y2

16

=1，a=4，b=2，c=2

3

，∴e=

c

a

=

3

2

，
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查基本不等式的应用，椭圆的简单性质的应用．