Question

已知直线mx+ny=2，（m＞0，n＞0）平分圆x²+y²-2x-4y+4=0的周长，则

1

m

+

2

n

取最小值时，双曲线

x2

m2

-

y2

n2

=1的离心率为

2

．

Answer 1

分析：由题意直线经过圆心，可得m+2n=2．利用基本不等式可得

1

m

+

2

n

=

1

2

(m+2n)(

1

m

+

2

n

)=

1

2

(5+

2n

m

+

2m

n

)≥

1

2

(5+2×2

n m • m n

)，当且仅当m=n=

1

3

时取等号．可知双曲线

x2

m2

-

y2

n2

=1为等轴双曲线，即可得到离心率．

解答：解：∵直线mx+ny=2，（m＞0，n＞0）平分圆x²+y²-2x-4y+4=0的周长，∴直线经过圆心，
∴m+2n=2．
∴

1

m

+

2

n

=

1

2

(m+2n)(

1

m

+

2

n

)=

1

2

(5+

2n

m

+

2m

n

)≥

1

2

(5+2×2

n m • m n

)=

1

2

(5+4)=

9

2

，当且仅当m=n=

1

3

时取等号．
∴双曲线

x2

m2

-

y2

n2

=1的离心率e=

2

（等轴双曲线）．
故答案为

2

．

点评：熟练掌握直线与圆的关系、基本不等式的性质、等轴双曲线等是解题的关键．