Question

已知

1

m

+

2

n

=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=-

2

x+2与曲线

x|x|

m

+

y|y|

n

=1的交点的个数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由基本不等式可得mn的值，由分类讨论去掉绝对值可得曲线，作出两个图象可得答案．

解答：解：∵1=

1

m

+

2

n

≥2

2 mn

，∴

1

mn

≤

1

8

，mn≥8，
当且仅当

1

m

=

2

n

=

1

2

，即m=2，n=4时，mn取得最小值8，
故曲线方程为

x|x|

2

+

y|y|

4

=1，
当x≥0，y≥0时，方程化为

x2

2

+

y2

4

=1
当x＜0，y＞0时，方程化为-

x2

2

+

y2

4

=1，
当x＞0，y＜0时，方程化为

x2

2

-

y2

4

=1，
当x＜0，y＜0时，无意义，
由圆锥曲线可作出方程

x|x|

2

+

y|y|

4

=1和直线y=-

2

x+2与的图象，
由图象可知，交点的个数为2，
故选B

点评：本题考查根的存在性及判断，涉及基本不等式和圆锥曲线的知识，属中档题．