Question

设空间向量、、，则下列命题中正确命题的序号：   
①若=x+y，则与、共面；
②若与、共面，则=x+y；
③若=x+y，则P、M、A、B共面；
④若P、M、A、B共面，则=x+y
⑤若存在λ，μ∈R使λ+μ=0，则λ=μ=0
⑥若，不共线，则空间任一向量p=λ+μ （λ，μ∈R）

Answer 1

【答案】分析：①若=x+y，则由平面向量基本定理得 与、共面，故 ①正确．
②不正确，如都是零向量，而 为非零向量时，此等式不成立．
③若=x+y，则  共面，故四点 P、M、A、B共面，故③正确．
④不正确，如，而为非零向量时，此关系不成立．
⑤不正确，如和互为反向量时，=0，此时，λ=μ=1．
⑥若，不共线，当与 所在平面垂直时，=λ+μ （λ，μ∈R） 不成立．
解答：解：①若=x+y，则由平面向量基本定理得 与、共面，故 ①正确．
②若与、共面，则=x+y不一定成立，如都是零向量，而 为非零向量时，此等式不成立．
③若=x+y，则  共面，故四点 P、M、A、B共面，故③正确．
④若P、M、A、B共面，则 =x+y 不一定成立，如，而为非零向量时，此关系不成立．
⑤若存在λ，μ∈R使λ+μ=0，则λ=μ=0不一定成立，如和互为反向量时，=0，此时，λ=μ=1．
⑥若，不共线，当与 所在平面垂直时，=λ+μ （λ，μ∈R） 不成立．
故答案为：①③．
点评：本题考查平面向量基本定理的应用，注意特殊情况，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．