题目内容

由空间向量基本定理可知,空间任意向量
p
可由三个不共面的向量
a
b
c
唯一确定地表示为
p
=x
a
+y
b
+z
c
,则称(x,y,z)为基底
a
b
c
下的广义坐标.特别地,当
a
b
c
为单位正交基底时,(x,y,z)为直角坐标.设
i
j
k
分别为直角坐标中x,y,z正方向上的单位向量,则空间直角坐标(1,2,3)在基底
i
+
j
i
-
j
k
下的广义坐标为
3
2
,-
1
2
,3
3
2
,-
1
2
,3
分析:欲求空间直角坐标(1,2,3)在基底
i
+
j
i
-
j
k
下的广义坐标,即对于平面向量
i
+2
j
+3
k
,存在唯一的实数对p,q,r,使得
i
+2
j
+3
k
=p(
i
+
j
)+q(
i
-
j
)+r
k
,据此列出关于p,q,r的方程求解即可.
解答:解:根据平面向量基本定理,空间直角坐标(1,2,3)对应的向量为
i
+2
j
+3
k

由于
i
+2
j
+3
k
=
3
2
(
i
+
j
)-
1
2
(
i
-
j
)+3
k

则空间直角坐标(1,2,3)在基底
i
+
j
i
-
j
k
下的广义坐标为(
3
2
,-
1
2
,3

故答案为:(
3
2
,-
1
2
,3
).
点评:本题考查平面向量正交分解的应用,考查一个新定义问题,考查学生的理解能力和应变能力,是一个比较好的题目.
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