Question

由空间向量基本定理可知，空间任意向量

p

可由三个不共面的向量

a

，

b

，

c

唯一确定地表示为

p

=x

a

+y

b

+z

c

，则称（x，y，z）为基底＜

a

，

b

，

c

＞下的广义坐标．特别地，当＜

a

，

b

，

c

＞为单位正交基底时，（x，y，z）为直角坐标．设

i

，

j

，

k

分别为直角坐标中x，y，z正方向上的单位向量，则空间直角坐标（1，2，3）在基底＜

i

+

j

，

i

-

j

，

k

＞下的广义坐标为

（

3

2

，-

1

2

，3）

．

Answer 1

分析：欲求空间直角坐标（1，2，3）在基底＜

i

+

j

，

i

-

j

，

k

＞下的广义坐标，即对于平面向量

i

+2

j

+3

k

，存在唯一的实数对p，q，r，使得

i

+2

j

+3

k

=p(

i

+

j

)+q(

i

-

j

)+r

k

，据此列出关于p，q，r的方程求解即可．

解答：解：根据平面向量基本定理，空间直角坐标（1，2，3）对应的向量为

i

+2

j

+3

k

，
由于

i

+2

j

+3

k

=

3

2

(

i

+

j

)-

1

2

(

i

-

j

)+3

k

，
则空间直角坐标（1，2，3）在基底＜

i

+

j

，

i

-

j

，

k

＞下的广义坐标为（

3

2

，-

1

2

，3）
故答案为：（

3

2

，-

1

2

，3）．

点评：本题考查平面向量正交分解的应用，考查一个新定义问题，考查学生的理解能力和应变能力，是一个比较好的题目．