Question

我们把满足不等式f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

的函数叫做高青函数．在给定的下列函数中：
①f（x）=x；②f（x）=x+

2

x

（x＞0）；③f（x）=x²；④f（x）=2^x；⑤f(x)=(

1

3

)x；⑥f（x）=log₂x；⑦f(x)=log

1

3

x，请解答下面两个问题：
（1）上述7个函数中有几个是高青函数？
（2）针对指数函数中的某个高青函数，证明其满足上述不等式．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：（1）由函数满足不等式f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

时，函数图象一条直线或是下凹的曲线，逐一分析7个函数的图象，可得答案；
（2）根据指数的运算性质，结合指数函数的图象和性质，可知指数函数为高青函数，进而可证明不等式成立．

解答： 解：（1）由函数满足不等式f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

时，函数图象一条直线或是下凹的曲线，
∴①f（x）=x是高青函数；
②f（x）=x+

2

x

（x＞0）是高青函数；
③f（x）=x²是高青函数；
④f（x）=2^x是高青函数；
⑤f(x)=(

1

3

)x是高青函数；
⑥f（x）=log₂x不是高青函数；
⑦f(x)=log

1

3

x是高青函数，
故上述7个函数中有6个是高青函数；
（2）若f（x）=a^x（a＞0，且a≠1），则f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．
证明：

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

ax1+ax2

2

-a

x1+x2

2

=

ax1+ax2-2 ax1ax2

2

=

( ax1 - ax2 )2

2

≥0．
∴f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

．（注：此性质为函数的凹凸性）

点评：本题考查的知识点是函数的凸凹性，基本初等函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．