Question

【题目】已知椭圆 的右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点为椭圆的上一点，过原点且垂直于的直线与直线交于点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）由右焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,根据等腰直角三角形及椭圆的几何性质可得,从而可得，进而可得椭圆的标准方程；（2））设， ，则，先求出当时的面积，当时，直线的方程为．即，直线的方程为根据点到直线距离公式以及两点间的距离公式可得，利用基本不等式可得面积的最小值．

试题解析：（1）由题意，得 解得．

所以椭圆的方程为．

（2）设， ，则．

①当时，点， 点坐标为或，

．

②当时，直线的方程为．即，

直线的方程为．

点到直线的距离为

， ．

所以， ．

又，

所以

且，

当且仅当，即时等号成立，

综上，当时， 取得最小值1.