Question

【题目】已知函数， .

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，判断方程在区间上有无实根；

（3）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 内无实数根；（3）.

【解析】试题分析：（2）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1时函数的导数，由点斜式写出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）代入m的值，把判断方程f（x）=g（x）在区间（1，+∞）上有无实根转化为判断函数h（x）=f（x）﹣g（x）在（1，+∞）上有无零点问题，求导后利用函数的单调性即可得到答案；

（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理变形后把参数m分离出来，x∈（1，e]时，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，转化为实数m小于一个函数在（1，e]上的最小值，然后利用导数分析函数在（1，e]上的最小值．

试题解析：

（1）时， ， ， ，切点坐标为，

∴切线方程为

（2）时，令，

，∴在上为增函数，

又，所以在内无实数根.

（3）恒成立，即恒成立.

又，则当时， 恒成立，

令，只需小于的最小值.

，∵，∴，∴时， ，

∴在上单调递减，∴在的最小值为，

则的取值范围是.