Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．

（1）求椭圆的方程;

（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），（2）存在符合条件的圆，且此圆的方程为，定值为

【解析】

（1）利用离心率和点在椭圆上列出方程，解出即可

（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，先将直线的方程与椭圆的方程联立，利用直线与椭圆有且仅有一个公共点，推出，然后通过直线与圆的方程联立，

设，，结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出为定值，然后再验证直线的斜率不存在时也满足即可

（1）由题意得：，

又因为点在椭圆上

所以

解得

所以椭圆的标准方程为：

（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为

证明如下：

假设存在符合条件的圆，且设此圆的方程为：

当直线的斜率存在时，设的方程为

由方程组得

因为直线与椭圆有且仅有一个公共点

所以

即

由方程组得

则

设，，则

设直线，的斜率分别为，

所以

将代入上式得

要使得为定值，则，即

所以当圆的方程为时，

圆与的交点，满足为定值

当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为

此时圆与的交点，也满足为定值

综上：当圆的方程为时，

圆与的交点，满足为定值