Question

6．抽样调查某大型机器设备使用年限x和该年支出维修费用y（万元），得到数据如表

使用年限x	2	3	4	5	6
维修费用y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

部分数据分析如下$\sum_{i=1}^5$y_i=25，$\sum_{i=1}^5$x_iy_i=112.3，$\sum_{i=1}^5$x${\;}_i}^2$=90
参考公式：线性回归直线方程为$\widehaty$=$\widehatb$x+$\widehata$，$\widehatb$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n\overline x}}^2}}}$
（1）求线性回归方程；
（2）由（1）中结论预测第10年所支出的维修费用．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据，做出变量x，y的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程；
（2）当自变量为10时，代入线性回归方程，求出维修费用，这是一个预报值．

解答 解：（1）由题意得$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，$\sum_{i=1}^5$x_iy_i=112.3，$\sum_{i=1}^5$x${\;}_i}^2$=90，
所以$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23，$\stackrel{∧}{a}$=5-1.23×4=0.08，
即线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=1.23x+0.08；
（2）当x=10时，$\stackrel{∧}{y}$=1.23×10+0.08=12.38（万元）
即估计使用10年时维修费用是12.38万元．

点评 本题考查线性回归方程，本题是一个基础题，而求线性回归方程的问题，是运算量比较大的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法．