Question

18．点M（x，y）与定点F（3，0）的距离和它到直线l：x=$\frac{25}{3}$的距离之比是$\frac{3}{5}$，则M的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$
• B． $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$
• C． $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9}=1$

Answer 1

分析 由于0＜$\frac{3}{5}$＜1，由椭圆的定义可知：M的轨迹是以F为焦点，l为准线的椭圆，然后即可求得其方程．

解答 解：设d是点M到直线l：x=$\frac{25}{3}$的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合P={M|$\frac{|MF|}{d}$=$\frac{3}{5}$}，
由此得$\frac{\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}}{|\frac{25}{3}-x|}$=$\frac{3}{5}$．将上式两边平方，并化简，得16x²+25y²=400．即$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、8的椭圆．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的定义，及求椭圆标准方程的方法，是个基础题．