设函数f(x)=ax+bx-cx.其中c＞a＞0.c＞b＞0．若a.b.c是△ABC的三条边长.则下列结论正确的是①②④．(写出所有正确结论的序号)①?x∈＞0,②?x0∈R.使${a^{x 0}}$.${b^{x 0}}$.${c^{x 0}}$不能构成一个三角形的三条边长,③若△ABC为直角三角形.对于?n∈N*.f(2n)＞0恒成立．④若△ABC为钝角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是①②④．（写出所有正确结论的序号）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x₀∈R，使${a^{x_0}}$，${b^{x_0}}$，${c^{x_0}}$不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为直角三角形，对于?n∈N^*，f（2n）＞0恒成立．
④若△ABC为钝角三角形，则?x₀∈（1，2），使f（x₀）=0．

分析根据a，b，c是三角形的三边长，得出f（x）=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{b}{c}）}^{x}$-1]＞c^x（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1）＞0，判断①正确；
举例说明a=2，b=3，c=4时构成三角形的三边长，但a²=4，b²=9，c²=16不能构成三角形的三边长，判断②正确；
△ABC为直角三角形时c²=a²+b²，f（2n）=a²ⁿ+b²ⁿ-c²ⁿ=a²ⁿ+b²ⁿ-（a²+b²）ⁿ≤0，判断③错误；
△ABC为钝角三角形时a²+b²-c²＜0，f（1）＞0，f（2）＜0，函数f（x）在区间（1，2）内存在零点，判断④正确．

解答解：对于①，因为a，b，c是三角形的三条边长，所以a+b＞c，
又因为c＞a＞0，c＞b＞0，所以0＜$\frac{a}{c}$＜1，0＜$\frac{b}{c}$＜1，
所以当x∈（-∞，1）时，f（x）=c^x[${（\frac{a}{c}）}^{x}$+${（\frac{b}{c}）}^{x}$-1]＞c^x（$\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$-1）
=c^x•$\frac{a+b-c}{c}$＞0，故①正确；
对于②，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形的三边长，
但a²=4，b²=9，c²=16却不能构成三角形的三边长，故②正确；
对于③，若△ABC为直角三角形，由题意得c²=a²+b²，
对于n∈N*，f（2n）=a²ⁿ+b²ⁿ-c²ⁿ=a²ⁿ+b²ⁿ-（a²+b²）ⁿ≤0，故③错误；
对于④，因为c＞a＞0，c＞b＞0，且△ABC为钝角三角形，
所以a²+b²-c²＜0，于是f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
故函数f（x）在区间（1，2）内存在零点，即?x₀∈（1，2），使f（x₀）=0，故④正确；
综上，正确结论的序号为①②④．
故答案为：①②④．

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