题目内容

四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，BB1⊥面ABCD，AB=2，BB1=4，则BB1与平面ACD1所成角的余弦值为
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2
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2
2
3
．
分析：画出几何体的图形，连接AC，BD交于O，连接D1O，找出∠OD1D就是BB1与平面ACD1所成角，结合已知数据，求出所求角的余弦值即可．
解答：解：四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，BB1⊥面ABCD，AB=2，BB1=4，
画出几何体的图形如图，连接AC，BD交于O，连接D1O，
易证平面ACD1⊥平面BDD1B1，
所以OD在平面BDD1B1上的所以为D1O，
因为B1B∥DD1，所以∠OD1D就是BB1与平面ACD1所成角，
DO=
1
2
BD=
2
，D1O=
42+(
2
)2
=3
2
，
所以cos∠OD1D=
DD1
OD1
=
4
3
2
=
2
2
3
．
故答案为：
2
2
3
．
点评：本题考查直线与平面所成角的求法，找出直线与平面所成角是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
练习册系列答案
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精英家教网如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，DC=2
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，AA1=
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，AD⊥DC，AC⊥BD垂足为E．
（Ⅰ）求证BD⊥A1C；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小；
（Ⅲ）求异面直线AD与BC1所成角的大小．
精英家教网如图四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，侧棱与底边长均为a，且∠A1AD=∠A1AB=60°．
①求证四棱锥A1-ABCD为正四棱锥；
②求侧面A1ABB1与截面B1BDD1的锐二面角大小．
精英家教网如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上，且CE=λCC1．
（1）λ为何值时，A1C⊥平面BED；
（2）若A1C⊥平面BED，求二面角A1-BD-E的余弦值．
精英家教网如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为2、∠ADC=120°的菱形，Q是侧棱DD1（DD1＞
2
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）延长线上的一点，过点Q、A1、C1作菱形截面QA1PC1交侧棱BB1于点P．设截面QA1PC1的面积为S1，四面体B1-A1C1P的三侧面△B1A1C1、△B1PC1、△B1A1P面积的和为S2，S=S1-S2．
（Ⅰ）证明：AC⊥QP；
（Ⅱ）当S取得最小值时，求cos∠A1QC1的值．
精英家教网如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，CB=CD=2 
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，AA1=
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，AB⊥BC，AC与BD交于点E．
（1）求证：BD⊥A1C；
（2）求二面角A1-BD-C1的大小；
（3）求异面直线AD与BC所成角的余弦值．

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