Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2、∠ADC=120°的菱形，Q是侧棱DD₁（DD₁＞

2

2

）延长线上的一点，过点Q、A₁、C₁作菱形截面QA₁PC₁交侧棱BB₁于点P．设截面QA₁PC₁的面积为S₁，四面体B₁-A₁C₁P的三侧面△B₁A₁C₁、△B₁PC₁、△B₁A₁P面积的和为S₂，S=S₁-S₂．
（Ⅰ）证明：AC⊥QP；
（Ⅱ）当S取得最小值时，求cos∠A₁QC₁的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明：AC⊥QP；只要证明AC垂直平面PCDQ即可．也就是证明AC垂直平面内的相交直线即可．
（Ⅱ）设O是A₁C₁与QP的交点，QD₁=x、QO=y，则x²+1=y²，利用S=S₁-S₂．表示出面积S，当S取得最小值时，求出x的值，然后求cos∠A₁QC₁的值．

解答：解：（Ⅰ）连AC、BD，则AC⊥BD；
∵PB⊥底面ABCD，则AC⊥BP，∴AC⊥平面QPBD．
而QP?平面QPBD，∴AC⊥QP．（4分）

（Ⅱ）设O是A₁C₁与QP的交点，QD₁=x、QO=y，则x²+1=y²，S=S₁-S₂
=2×

1

2

×2

3

y-(

1

2

×2

3

+2×

1

2

×2x)=2

3

y-

3

-2x=2(

3(x2+1)

-x)-

3

．（8分）
∵令m=

3(x2+1)

-x，则m2=(

3(x2+1)

-x)2=(

3

x-

x2+1

)2+2，
∴当

3

x=

x2+1

即x=

2

2

时，S取得最小值．（11分）
此时，QC1=QA1=

3 2

2

，由余弦定理有cos∠A₁QC₁=

QC12+QA12-A1C21

2QC1×QA1

=-

1

3

．（13分）

点评：本题考查棱柱的结构特征，余弦定理，是中档题．