Question

如图四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为正方形，侧棱与底边长均为a，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°．
①求证四棱锥A₁-ABCD为正四棱锥；
②求侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的锐二面角大小．

Answer 1

分析：（1）欲证四棱锥A₁-ABCD是正四棱锥，设A₁在底面ABCD的射影为O，即证O是底面正方形ABCD的中心即可，而O是Rt△ABD的外心，因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，该中点就是正方形的中心；
（2）取AA₁的中点M，根据定义可知∠MBD是所求二面角的平面角，然后在三角形MBD中求解此角即可．

解答：解：（1）由AA₁=AD=AB，及∠A₁AD=∠A₁AB=60°?△A₁AD、△AA₁B都是正三角形，
从而AA₁=A₁D=A₁B，设A₁在底面ABCD的射影为O，则由斜线长相等推出射影长也相等，
所以O是Rt△ABD的外心，因为Rt△ABD的外心是斜边BD的中点，
所以O是底面正方形ABCD的中心．所以四棱锥A₁-ABCD是正四棱锥．

（2）由DB⊥平面AA₁O?截面BB₁D₁D⊥平面AA₁O?点O与侧棱AA₁的距离d等于AA₁和截面BB₁D₁D之间的距离．
取AA₁的中点M，则OM∥A₁C，且OM⊥AA₁，OM=

1

2

A₁C=

1

2

a，
∴所求距离为

1

2

a．注意到所求二面角的棱是B₁B，
由M是AA₁的中点?MB⊥AA₁，B₁B∥AA₁?MB⊥B₁B，又DB⊥AA₁，AA₁∥B₁B?DB⊥B₁B，
∴∠MBD是所求二面角的平面角．不妨设AB=a=2，则BD=2

2

，MB=MD=

3

，
∴tan∠MBD=

2

2

．
∴侧面A₁ABB₁与截面B₁BDD₁的夹角为arctan

2

2

．

点评：本小题主要考查二面角及其度量，以及棱锥的结构特征等知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．