Question

已知cosα=

1

7

，  cosβ=

13

14

且α，β∈(0，

π

2

)
（Ⅰ）求tan2α的值；
（Ⅱ）求角α-β的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式化简cos2α，把cosα的值代入求出cos2α的值，由2α的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin2α的值，再利用同角三角函数间的基本关系即可求出tan2α的值；
（Ⅱ）由cosα和cosβ的值，根据α，β的范围，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinα和sinβ的值，且由cosα和cosβ的大小关系，根据余弦函数在（0，

π

2

）为减函数，得到α-β的范围，然后根据两角和与差的余弦函数公式化简cos（α-β），把各自的值代入即可求出值，利用特殊角的三角函数值即可求出α-β的度数．

解答：解：（Ⅰ）∵cos2α=2cos²α-1=-

47

49

，且2α∈（0，π），
∴sin2α=

1-cos22α

=

8 3

49

，
则tan2α=

sin2α

cos2α

=-

56 3

47

；

（Ⅱ）∵cosα=

1

7

，  cosβ=

13

14

且α，β∈(0，

π

2

)，
∴sinα=

4 3

7

，sinβ=

3 3

14

，
又∵cosα＜cosβ，∴α＞β，即

π

2

＞α-β＞0，
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

1

7

×

13

14

+

4 3

7

×

3 3

14

=

1

2

，
则α-β=

π

3

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，同时注意角度的范围．