Question

（1）已知cosα=

1

7

，cos（α+β）=-

11

14

，且α，β∈(0，

π

2

)，求cosβ的值；
（2）已知α为第二象限角，且sinα=

2

4

，求

cos( π 4 -α)

cos2α-sin(2α-π)+1

的值．

Answer 1

分析：（1）由已知可得sinα和sin（α+β），代入cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，化简可得；
（2）由已知可得cosα的值，由三角函数的公式化简要求的式子，代入化简可得．

解答：解：（1）∵cosα=

1

7

，cos（α+β）=-

11

14

，α，β∈(0，

π

2

)
∴sinα=

1-cos2α

=

4 3

7

，sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

5 3

14

，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

11

14

×

1

7

+

5 3

14

×

4 3

7

=

49

14×7

=

1

2

；
（2）∵α为第二象限角，sinα=

2

4

，
∴cosα=-

1-sin2α

=

14

4

，
∴

cos( π 4 -α)

cos2α-sin(2α-π)+1

=

2 2 cosα+ 2 2 sinα

cos2α-sin2α+2sinαcosα+1

=

2 2 × 14 4 + 2 2 × 2 4

14 16 - 2 16 +2× 2 4 × 14 4 +1

=

28 +2 8

28+2 28 16

=

7

7

点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的化简求值，属中档题．