Question

已知cosα=

1

7

，cos(α+β)=-

11

14

，α∈(0，

π

2

)，α+β∈(

π

2

，π)，则β=

π

3

．

Answer 1

分析：利用平方关系和角的取值范围即可得出sinα，sin（α+β）．再利用cosβ=cos[（α+β）-α]展开和β的取值范围即可．

解答：解：∵cosα=

1

7

，α∈(0，

π

2

)，∴sinα=

1-cos2α

=

4 3

7

．
∵cos（α+β）=-

11

14

，(α+β)∈(

π

2

，π)，∴sin（α+β）=

1-cos2(α+β)

=

5 3

14

．
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

11

14

×

1

7

+

5 3

14

×

4 3

7

=

1

2

．
∵α∈(0，

π

2

)，(α+β)∈(

π

2

，π)．
∴β∈（0，π）．
∴β=

π

3

．
故答案为

π

3

．

点评：本题考查了三角函数的基本关系式、两角和差的正弦余弦公式、拆分角、根据角的范围确定三角函数值的符号等基础知识与基本方法，属于中档题．