题目内容

已知cosα=
1
7
，cos(α-β)=
13
14
，且0＜β＜α＜
π
2

（Ⅰ） 求
cos(π+2α)tan(π-2α)sin(
π
2
-2α)
cos(
π
2
+2α)
的值；
（Ⅱ）求cosβ及角β的值．
分析：（Ⅰ）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系化简要求的式子为-2cos2α+1，把cosα=
1
7
代入运算求得结果．
（Ⅱ）利用同角三角函数的基本关系及角的范围求出sin（α-β） 和 sinα 的值，由两角和差的余弦公式cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）运算求出结果．
解答：解：（Ⅰ）∵cosα=
1
7
，∴
cos(π+2α)tan(π-2α)sin(
π
2
-2α)
cos(
π
2
+2α)
=
-cos2α•(-tan2α)cos2α
-sin2α
=-cos2α=-2cos2α+1=
47
49
．
（Ⅱ）∵cos(α-β)=
13
14
，0＜β＜α＜
π
2
，∴sin（α-β）=
3
3
14
，sinα=
4
3
7
．
cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=
1
7
×
13
14
+
4
3
7
×
3
3
14
=
1
2
，∴β=
π
3
．
点评：本题主要考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，以及诱导公式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
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（1）已知cosα=
1
7
，cos（α+β）=-
11
14
，且α，β∈(0，
π
2
)，求cosβ的值；
（2）已知α为第二象限角，且sinα=
2
4
，求
cos(
π
4
-α)
cos2α-sin(2α-π)+1
的值．
已知cosα=
1
7
，cos(α+β)=-
11
14
，α∈(0，
π
2
)，α+β∈(
π
2
，π)，则β=
π
3
π
3
．
已知cosα=
1
7
，cos(α-β)=
12
13
．且0＜β＜α＜
π
2

（Ⅰ）求cos2α的值．
（Ⅱ）求cosβ的值．
已知cosα=
1
7
，cos（α-β）=
13
14
，且0＜β＜α＜
π
2
，则cosβ=
1
2
1
2
．

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