Question

已知椭圆的离心率为，直线:与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为，右焦点，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂
直于点，线段垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（3）当P不在轴上时，在曲线上是否存在两个不同点C、D关于对称，若存在，
求出的斜率范围，若不存在，说明理由。

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）；
（3）在曲线上不存在两个不同点C、D关于对称

本试题主要是考查了椭圆的方程求解以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。
（1）利用椭圆的几何性质和直线与圆相切得到椭圆的方程。
（2）∵MP=MF₂，
∴动点M到定直线的距离等于它到定点F₁（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l₁准线，F₂为焦点的抛物线可知结论。
（3）设点的坐标，利用对称性来分析证明不存在符合题意的结论。
解：（Ⅰ）∵  
∵直线相切，
∴  ∴ 
∵椭圆C₁的方程是    
（Ⅱ）∵MP=MF₂，
∴动点M到定直线的距离等于它到定点F₁（1，0）的距离，
∴动点M的轨迹是C为l₁准线，F₂为焦点的抛物线 ………………6分
∴点M的轨迹C₂的方程为   …………7分
（3）显然不与轴垂直，设 (,)， (,)，且≠，则 =．
若存在C、D关于对称，则=-   ∵≠0，∴≠0
设线段的中点为,则=(+)=,=，
将代入方程求得：=-( -)=(-)
∵-=-≠1∴ ≠()= ∴线段的中点不在直线上．所以在曲线上不存在两个不同点C、D关于对称