Question

（本小题满分14分）
设椭圆的离心率为=,点是椭圆上的一点,且点到椭圆两焦点的距离之和为4．
(1)求椭圆的方程；
（2）椭圆上一动点关于直线的对称点为,求的取值范围．

Answer 1

(1)．（2）的取值范围为．

(1)由椭圆的定义可知a=2,再根据e，可得,从而可求出b,椭圆C的方程确定.
（2）因为点关于直线的对称点为， 然后根据垂直平分建立两个方程，从而可利用x₀,y₀表示x₁,y₁.,再根据点P在椭圆上，可得到x₀的取值范围，从而可得到，的取值范围.
解：(1)依题意知,    
∵,∴． ………………………………4分
∴所求椭圆的方程为． ……………………………………………6分
（2）∵ 点关于直线的对称点为，
∴  ……………………………………………8分
解得：，．……………………………………………10分
∴．……………………………………………12分
∵ 点在椭圆:上,∴, 则．
∴的取值范围为．……………………………………………14分