Question

（本小题满分14分）已知椭圆的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作，其中圆心P的坐标为．(1) 若FC是的直径，求椭圆的离心率；（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程．

Answer 1

（1）椭圆的离心率；(2)椭圆的方程为 。

(1)由椭圆的方程知a=1,再根据,转化为,再结合,从而可得c,进而得到e.
(II) 圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上,所以通过解FC的垂直平分线和BC的垂直平分线方程组成的方程组得到圆心P的坐标，再根据P点在直线m+n=0上，从而可建立关于b,c的方程.根据a=1，解出b,c的值，求出椭圆方程.
解：（1）由椭圆的方程知，∴点，，
设的坐标为，………………1分
∵FC是的直径，
∴
∵ ∴ --------------------2分
∴，----------------------------------------3分
解得 --------------------------------------5分
∴椭圆的离心率--------------------6分
(2)∵过点F,B,C三点，
∴圆心P既在FC的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
FC的垂直平分线方程为--------①
-----------7分
∵BC的中点为，

∴BC的垂直平分线方程为-----②
---------9分
由①②得，
即                       -----11分
∵P在直线上，∴  
∵ ∴          -----------------13分
由得
∴椭圆的方程为      ---------------------14分