Question

已知函数f（x）=2cos（2x+

2π

3

）+

3

sin2x
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）设△ABC的三内角分别是A、B、C．若f（

C

2

）=-

1

2

，且AC=1，BC=3，求sinA的值．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由两角和的余弦公式化简解析式可得f（x）=-cos2x，从而可求最小正周期和最大值；
（2）由已知先求得cosC的值，即可求sinC的值，由余弦定理可得：AB的值，从而由正弦定理得sinA的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2cos（2x+

2π

3

）+

3

sin2x=-cos2x-

3

sin2x+

3

sin2x=-cos2x
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，函数f（x）的最大值是1；
（2）∵f（x）=-cos2x，
∴f（

C

2

）=-cosC=-

1

2

，可得：cosC=

1

2

．
∴sinC=

1-cos2C

=

3

2

∴由余弦定理可得：AB²=BC²+AC²-2×AC×BC×cosC=9+1-2×1×3×

1

2

=7，既得AB=

7

∴由正弦定理：

BC

sinA

=

AB

sinC

可得：sinA=

BC•sinC

AB

=

3× 3 2

7

=

3 21

14

．

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦定理、余弦定理的综合应用，综合性较强，属于中档题．