Question

如图，底面为直角梯形的四棱锥中，AD∥BC，平面， ，BC＝6．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考察线面垂直和二面角的求法，可以用传统几何法，也可以用空间向量法，突出考察空间想象能力和计算能力，（Ⅰ）由平面，得到，要证明平面，只需证明，在中，,在中，，所以,又,,所以，可证平面；（Ⅱ）用向量法求解，先求出面和面的法向量，再利用夹角公式求夹角.
试题解析：（Ⅰ）方法一：如图，以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，               2分
．，，
又， 面．                       6分
方法二：由平面，∴，在中，,在中，，所以,又,,所以，又∵,面
（Ⅱ）设平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则                                         8分

解得．
令，则     10分

二面角的余弦值为．      12分