题目内容
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.
(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;
(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
(Ⅰ)详见解题分析;(Ⅱ)详见解题分析;(Ⅲ)直线与平面所成角的正弦值为.
试题分析:(Ⅰ)如图,在三棱柱中,要证明//平面,只要在平面内找的平行线,也即只要证明//即可.需要先证明四边形为平行四边形,这可有且//得到;(Ⅱ)要证明平面平面,只要能在其中一个平面内找到另一个平面的垂线即可.可以尝试证明平面由于是正三角形,为的中点,故,为此只要证明,它可以利益底面得到;(Ⅲ)首先需找到或作出线与平面所成角.按照定义,结合已知,在平面内,过点作交直线于点,连接.再利用面面垂直的性质定理,证明平面.由此得为直线与平面所成角.最后在中,利用锐角三角函数求直线与平面所成角的正弦值.
试题解析:(Ⅰ)证明:如图,在三棱柱中,//,且连接在中,分别为的中点,且//,又为的中点,可得且//即四边形为平行四边形,//.又平面平面//平面;
(Ⅱ)证明:由于是正三角形,为的中点,故又由于侧棱底面底面, 因此平面平面,平面平面;
(Ⅲ)解:在平面内,过点作交直线于点,连接.由于平面平面,而直线是平面与平面的交线,故平面.由此得为直线与平面所成角.设棱长为,可得由∽,易得.在中,.所以直线与平面所成角的正弦值为.
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