Question

已知曲线的直角坐标方程为. 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P是曲线上一点，，，将点P绕点O逆时针旋转角后得到点Q，，点M的轨迹是曲线.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）[2，4].

试题分析：本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式“，”转化得到曲线的极坐标方程，设出M，P点的极坐标，利用已知条件得P点坐标代入到中即可；第二问，由曲线的极坐标方程得的表达式，利用三角函数的有界性求的最值.
（1）曲线C₁的极坐标方程为，即．
在极坐标系中，设M(ρ，θ)，P(ρ₁，α)，则
题设可知，．        ①
因为点P在曲线C₁上，所以．    ②
由①②得曲线C₂的极坐标方程为．    6分
（2）由（1）得
．
因为的取值范围是，所以|OM|的取值范围是[2，4]．  10分