Question

已知f(x)=4x+ax²-x³（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数，
（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f(x)=2x+x³的两个非零实根为x₁、x₂，试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）f＇(x)=4+2ax-2x²，
∵f(x)在[-1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[-1，1]恒成立，即x²-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立， ①
设ψ(x)=x²-ax-2，
①，
∵对x∈[-1，1]，只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=-1时，f＇(1)=0，
∴A={a|-1≤a≤1}；
（Ⅱ）由，得x=0或，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两非零实根，x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
从而|x₁-x₂|==，
∵-1≤a≤1，
∴|x₁-x₂|=≤3，
要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[-1，1]恒成立，
即m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立， ②
设g(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2)，
②g(-1)=m²-m-2≥0且g(1)=m²+m-2≥0，m≥2或m≤-2，
所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，
其取值范围是{m|m≥2或m≤-2}。