Question

已知f(x)=

4x+a

4x+1

是奇函数，
（1）求常数a的值；  
（2）求f（x）的定义域和值域；
（3）讨论f（x）的单调性并证明．

Answer 1

分析：（1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x），即可求得a值；
（2）先把函数f（x）变形为f（x）=

4x-1

4x+1

=1-

2

4x+1

，利用基本函数的值域可求函数f（x）的值域，f（x）的定义域易求得；
（3）设x₁＜x₂，通过作差比较f（x₁）与f（x₂）的大小，再利用函数的单调性的定义可作出判断．

解答：解：（1）因为f(x)=

4x+a

4x+1

是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），即

4-x+a

4-x+1

=-

4x+a

4x+1

，也即

1+a•4x

1+4x

=-

4x+a

4x+1

，
所以

(1+a•4x)+(4x+a)

4x+1

=a+1=0，
所以a=-1．
（2）由（1）知，f（x）=

4x-1

4x+1

=1-

2

4x+1

，
其定义域为R．
因为4^x＞0，所以0＜

2

4x+1

＜2，-1＜1-

2

4x+1

＜1，
即-1＜f（x）＜1．
所以函数f（x）的值域为（-1，1）．
（3）所以函数f（x）在R上为增函数．
证明：设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

4x1+1

）-（1-

2

4x2+1

）
=

2

4x2+1

-

2

4x1+1

=

2(4x1-4x2)

(4x2+1)(4x1+1)

．
因为x₁＜x₂，所以4x1＜4x2，4x1+1＞0，4x2+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f（x）在R上为增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．