Question

已知f(x)=4x+ax²-x³(x∈R)在区间［-1,1］上是增函数.

(1)求实数a的值组成的集合A.

(2)设关于x的方程f(x)=2x+x³的两个非零实根为x₁、x₂,试问:是否存在实数m,使得不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对于任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立?若存在,求m的取值范围；若不存在,请说明理由.

Answer 1

解析:(1)f′(x)=4+2ax-2x².?

因为f(x)在［-1,1］上是增函数,?

所以f′(x)≥0对x∈［-1,1］恒成立,?

即x²-ax-2≤0对x∈［-1,1］恒成立.                         ①?

设g(x)=x²-ax-2.?

方法一:

因为对x∈［-1,1］,只有当a=1时,f′(-1)=0.?

以及当a=-1时,f′(1)=0,?

所以A={a|-1≤a≤1}.?

方法二:

0≤a≤1或-1≤a≤0-1≤a≤1.?

因为对x∈［-1,1］,只有当a=1时,f′(-1)=0以及当a=-1时,f′(1)=0,?

所以A={a|-1≤a≤1}.?

(2)由4x+ax²-x³=2x+x³,?

得x=0或x²-ax-2=0.?

因为Δ=a²+8＞0,?

所以x₁、x₂是方程x²-ax-2=0的两非零实根.?

因为x₁+x₂=a,x₁x₂=-2,?

又因为-1≤a≤1,|x₁-x₂|=

要使不等式m²+tm+1≥|x₁-x₂|对任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立,

当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈［-1,1］恒成立,                                 ②?

即m²+tm-2≥0对任意t∈［-1,1］恒成立.?

设h(t)=m²+tm-2=mt+(m²-2),则?

所以存在满足题设的m,其取值范围为{m|m≥2或m≤-2}.