Question

8．若（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$），且（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角大小为0或π．

Answer 1

分析 由题意可得（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）∥（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$），由向量共线的知识可得．

解答 解：∵（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$），（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）∥（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$），∴（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）=λ（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$），
∴$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$=λ$\overrightarrow{a}$-4λ$\overrightarrow{b}$，∴（1-λ）$\overrightarrow{a}$=-（3+4λ）$\overrightarrow{b}$，
∵（1-λ）和（3+4λ）不会同时为0，∴$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为0或π
故答案为：0或π

点评 本题考查数量积和向量的夹角，涉及向量的平行关系，属基础题．