Question

7．已知双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．

解答 解：双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），
以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．
若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，
可得：$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，即$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得离心率为：e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．