Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）若点D是AB的中点，求二面角D-CB₁-B的余弦值；
（2）设=λ，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标，利用向量法能求出二面角D-B₁C-B的余弦值．
（2）由=λ，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，利用向量法能求出λ的值．
解答：解：（1）以CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，
因为AC=3，BC=4，AA₁=4
所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C₁（0，0，4），B₁（0，4，4），
因为 D是AB的中点，所以，
所以，，
平面CBB₁C₁的法向量 n₁=（1，0，0），…（1分）
设平面DB₁C的一个法向量n₂=（x，y，z），
则n₁，n₂的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小，
由得令x=4，则y=-3，z=3，
所以n₂=（4，-3，3）…（3分）
…（4分）
所以二面角D-B₁C-B的余弦值为．…（5分）
（2）由（1）得=（-3，0，4），
因为，
所以点D（-3λ+3，4λ，0），所以，…（7分）
因为异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为，
所以|cos＜，＞|==，
解得．…（10分）
点评：本题考查二面角的求法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．