Question

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点.

   （1）求证：AD⊥PB；

   （2）求二面角A—BC—P的正切值.

Answer 1

解法一：（1）取的中点，连结

， ．………2分

，且，

是正三角形，．………4分

平面．．………6分

   （2）取的中点，联结．

∵四边形是直角梯形且，

，． 平面，

，

是二面角的平面角．……………………………9分

设，则．

、E分别为．中点，

．………10分

是等腰直角三角形斜边的中点，

．

，

∴二面角的正切值为． ………………………12分

解法二：（1）同解法1

   （2） ∵侧面底面，又，

    底面．．．

∴直线两两互相垂直，……………………8分

故可以分别以直线为轴．轴和轴建立如

图所示的空间直角坐标系．

设，，则可求得

，…………10分

则．

且，，

即．，

即．……………………………………………………11分

平面，是平面的法向量，

   

∴二面角的正切值为． ………………………………………12分