Question

已知两点M（-1，0），N（1，0），若直线y=k（x-2）上至少存在三个点P，使得△MNP是直角三角形，则实数k的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  3

  ，0）∪（0，

  1

  3

  ]
• B、[-

  3

  3

  ，0）∪（0，

  3

  3

  ]
• C、[-

  1

  3

  ，

  1

  3

  ]
• D、[-5，5]

Answer 1

考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

专题：直线与圆

分析：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，故k≠0．△MNP是直角三角形，由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，由此能求出实数k的取值范围．

解答： 解：当k=0时，M、N、P三点共线，构不成三角形，
∴k≠0，
如图所示，△MNP是直角三角形，有三种情况：
当M是直角顶点时，直线上有唯一点P₁点满足条件；
当N是直角顶点时，直线上有唯一点P₃满足条件；
当P是直角顶点时，此时至少有一个点P满足条件．
由直径对的圆周角是直角，知直线和以MN为直径的圆有公共点即可，
则

|2k|

k2+1

≤1，解得-

3

3

≤k≤

3

3

，且k≠0．
∴实数k的取值范围是[-

3

3

，0）∪（0，

3

3

]．
故选：A．

点评：本题考查直线与圆的位置关系等基础知识，意在考查运用方程思想求解能力，考查数形结合思想的灵活运用．