题目内容
已知函数f（x）=aln（x+1）-
x3的导函数f′（x）＞-1在区间（0，1）上恒成立，则实数a的取值范围 ．
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考点：利用导数求闭区间上函数的最值
专题：导数的综合应用
分析：求函数的导数，将不等式恒成立进行转化，构造函数g（x），利用导数求出函数的取值范围即可．
解答：
解：函数的f（x）的导数f′（x）=
-x2，
若f′（x）＞-1在区间（0，1）上恒成立，
则
-x2＞-1在区间（0，1）上恒成立，
即
＞x2-1，
即a＞（x2-1）（x-1）在区间（0，1）上恒成立，
设g（x）=（x2-1）（x-1），
则g′（x）=（x-1）（3x+1），
∵0＜x＜1，
∴g′（x）＜0，
即函数g（x）=（x2-1）（x-1）在区间（0，1）为减函数，
则0＜g（x）＜1，
则a≥1，
故答案为：[1，+∞）
| a |
| x+1 |
若f′（x）＞-1在区间（0，1）上恒成立，
则
| a |
| x+1 |
即
| a |
| x+1 |
即a＞（x2-1）（x-1）在区间（0，1）上恒成立，
设g（x）=（x2-1）（x-1），
则g′（x）=（x-1）（3x+1），
∵0＜x＜1，
∴g′（x）＜0，
即函数g（x）=（x2-1）（x-1）在区间（0，1）为减函数，
则0＜g（x）＜1，
则a≥1，
故答案为：[1，+∞）
点评：本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用参数分离法将不等式恒成立进行转化是解决本题的关键．
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已知x，y＞0，xy+1=2x-y，若对于满足条件的任意x，y有（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，则a的取值范围是（ ）
| A、[-2，2] | ||
B、（-∞，
| ||
| C、（-∞，2] | ||
D、[2，
|
“0≤k＜3”是方程
+
=1表示双曲线的（ ）
| x2 |
| k+1 |
| y2 |
| k-5 |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分又不必要条件 |