Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，.

（1）求证：平面平面；

（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）利用面面垂直的性质证得，利用线面垂直的性质证得，进而可得面，平面平面；
（2）首先由不等式证得当时，三棱锥体积最大，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量来求二面角的平面角，不难求解．

（1）证明：∵侧面底面，侧面底面，四边形为正方形，∴，面，∴面，

又面，∴，平面，面，∴，

，平面，∴面，面，

∴平面平面．

（2），

求三棱锥体积的最大值，只需求的最大值．

令，由（1）知，，∴，

而，当且仅当，即时，的最大值为．

如图所示，分别取线段，中点，，连接，，以点为坐标原点，以，和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．

由已知，所以，

令为面的一个法向量，则有，∴

易知为面的一个法向量，二面角的平面角为，为锐角

则．