Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D.

（1）求证：A₁C⊥平面AEF；

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角）.则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等.

试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5时，求平面AEF与平面D₁B₁BD所成角的大小.（用反三角函数值表示）

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）证明：因为CB⊥平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影为A1B. 由A1B⊥AE，AE平面A1B，得A1C⊥AE. 同理可证A1C⊥AF. 因为A1C⊥AF，A1C⊥AE， 所以A1C⊥平面AEF. （2）解：过A作BD的垂线交CD于G，因为D1D⊥AG，所以AG⊥平面D1B1BD. 设AG与A1C所成的角为α，则α即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角. 由已知，计算得DG=. 如图建立直角坐标系，则得点A（0，0，0），G（，3，0），A1（0，0，5）， C（4，3，0）. AG={，3，0}，A1C={4，3，－5}. 因为AG与A1C所成的角为α， 所以cosα=. 由定理知，平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小为arccos. 注：没有学习向量知识的同学可用以下的方法求二面角的平面角. 解法一：设AG与BD交于M，则AM⊥面BB1D1D，再作AN⊥EF交EF于N，连接MN，则∠ANM即为面AEF与D1B1BD所成的角α，用平面几何的知识可求出AM、AN的长度. 解法二：用面积射影定理cosα=.