Question

（1）已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为

2

，且过点（4，-

10

）．求双曲线的标准方程；
（2）已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．求曲线C的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线方程为x²-y²=λ，由双曲线过点（4，-

10

），能求出双曲线方程．
（2）由已知得点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．

解答： 解：（1）∵e=

2

，
∴可设双曲线方程为x²-y²=λ．
∵双曲线过点（4，-

10

），
∴16-10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x²-y²=6．
（2）∵点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（0，1）的距离与它到直线l′：y=-1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为x²=4y．

点评：本题考查双曲线方程和曲线方程的求法，是中档题，解题时要注意抛物线和双曲线的简单性质的合理运用．